Proudění v elastických trubicích
Ukážeme si jakým způsobem je ovlivněné proudění v cévách, které nemají dostatečně tuhou stěnu na to, aby byla schopna zachovat tvar válcové trubice i v případě, že je tlak uvnitř cévy výrazně menší než tlak okolí. Takové cévy budeme nazývat kolabilní, jsou to cévy, které mohou kolabovat. Rozdíl tlaků vně a uvnitř cévy budeme nazývat transmurálním tlakem. Sledovaným parametrem proudění bude závislost průtoku na tlakovém spádu celého systému. Tlakovým spádem systému rozumíme rozdíl tlaku na vstupu a výstupu.
Pro trubice s dokonale tuhou stěnou platí pro vyvinuté laminární proudění analogie s ohmovým zákonem, což znamená, že odpor systému je roven podílu napětí a proudu. V našem případě napětí představuje tlakový spád a proud je průtokem tekutiny. Z tohoto vztahu vyplývá velmi důležitá lineární závislost průtoku na tlakovém spádu, V případě turbulentního proudění tuhou trubicí není závislost průtoku na tlakovém spádu zcela lineární, zůstává však monotónní, tedy vyššího průtoku lze dosáhnout zvýšením tlakového spádu.
Analogii proudění tekutiny a elektrického proudu lze využít také pro výpočet celkového odporu systému, při znalosti dílčích odporů (Pro laminární vyvinuté proudění v tuhé trubici).
Nyní si ukážeme jak je proudění ovlivněno kolabilitou stěn, a zda tyto předpoklady a analogie platí i pro proudění v kolabilních cévách.
Vzájemnou změnu některých energií popisuje Bernoulliho rovnice, která vychází z předpokladu, že součet tlakové, polohové a kinetické energie je ve všech místech systému stejný:
Napíšeme-li Bernoulliho rovnici pro dvě různá místa v systému (místo 2 je dále po směru proudění než místo 1) a přidáme-li na pravou stranu člen, vyjadřující ztrátu vlivem disipace energie (i tento člen bude mít rozměr tlaku), dostaneme tento tvar rovnice:
Toto krátké odvození jsme provedli proto, abychom si uvědomili, že součet členů vyjadřujících kinetickou energii a tlakovou je stále stejný, respektive se tento součet vhledem k narůstající ztrátě snižuje. Z tohoto vyplývá vzájemný vztah mezi kinetickou a tlakovou energií v každém místě a z tohoto vztahu dále vztah mezi tlakem a rychlostí, tedy: čím větší je v nějakém místě rychlost, tím menší je v tomto místě tlak. Vzhledem k tomu, že v těchto rovnicích vystupuje tlak jako sčítanec, není důležité, uvažujeme-li tlak jako jeho absolutní hodnotu, či jako přetlak – rozdíl od nějaké konstantní hodnoty.
Tento obrázek ukazuje jakým způsobem se bude deformovat trubice při proudění tekutiny. Nahoře je ukázán stav, kdy trubicí žádná tekutina neproudí a transmurální tlak udržuje tvar trubice kruhového průřezu. V případě, že v trubici dojde k proudění nastane případ uvedený ve spodní části obrázku, kdy transmurální tlak poklesne o složku kinetické energie a navíc podél trubice klesá vlivem ztrát, tím pádem na konci trubice je transmurální tlak nejmenší a může dojít k jejímu zúžení. V případě zúžení však dojde k dalšímu urychlení proudu a tím ještě k poklesu vnitřního tlaku. V limitní případě, kdy by se průřez takto kolabované trubice přiblížil nule, však rychlost proudění nebude nekonečná. Při uzavření trubice se proud zastaví a kinetická složka energie se opět změní na tlakovou a trubice se opět naplno otevře. V reálných případech takovýto systém hledá rovnovážnou polohu, a dokud ji nenalezne, dochází k výše popsanému jevu, který je nazýván třepetáním elastické trubice (flutter effect).
Uvažujme systém trubic, tvořený výhradně tuhými trubicemi tak, jak je naznačeno na obrázku. Přetlak ve vstupním kanálu předpokládáme 12 cmH2O. Tlakový spád na společné větvi je předpokládán 3 cmH20, na dvojici větví 6 cmH20 a na zbývající opět společné větvi 3 cmH20. Předpokládejme, že celkový průtok 2 l/s se rovnoměrně rozdělí mezi dva segmenty (mají stejný odpor). V levé části obrázku je uvedena vertikální vzdálenost těchto segmentů a odpovídající hydrostatický tlakový rozdíl. Hodnoty tlaku vyplývající ze ztrát vlivem proudění jsou uvedeny vně trubic, uvnitř jsou hodnoty tlaků zohledňující též hydrostatický efekt. Jak je patrné, v horním segmentu dojde vlivem proudění ke snížení tlaku dokonce pod tlak okolí. V případě, že by tento segment nebyl z tuhé trubice, došlo by vlivem nízkého transmurálního tlaku v tomto místě ke kolapsi.
Budeme-li však předpokládat, že horní segment je tvořen kolabilní cévou, dojde v těchto místech k výše popsanému třepetání, které najde svou rovnovážnou polohu, kdy dojde k vyrovnání tlaku a proudění, při hodnotě transmurálního tlaku například 0,1 cmH20. Z tohoto budeme vycházet, pokusíme-li se sestavit podobný obrázek tomu předchozímu, nyní však budeme uvažovat horní segment jako kolabilní. Můžeme nyní dopočíst zbývající tlaky v celém systému. Důležité je uvědomit si, že kolabilita nám ovlivnila hodnotu průtoku horním segmentem a potažmo celým systémem, aniž bychom změnili celkový tlakový spád.
